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Euklidische Richtung


Ich versuche, die euklidische Richtung zu berechnen, in ArcGIS ist es sehr einfach, das Werkzeug euklidische Richtung von Spatial Analyst zu verwenden, aber in QGIS finde ich nicht, wie es geht.

Irgendwelche Tipps dafür in freier Software?


  • Vektor->Analysetools->Distanzmatrix
  • Berechnen Sie nur den nächsten Punkt
  • Verbinden Sie die beiden x/y-Paare mit Ihrer Ausgabedatei
  • Der Rest ist nur grundlegende Mathematik in einem rechtwinkligen Dreieck

Die Eingabequelldaten können eine Feature-Class oder ein Raster sein.

Die Ausgabewerte basieren auf Kompassrichtungen (90 nach Osten, 180 nach Süden, 270 nach Westen und 360 nach Norden), wobei 0 für die Quellzellen reserviert ist.

Wenn die Eingabequelldaten ein Raster sind, besteht der Satz von Quellzellen aus allen Zellen im Quell-Raster, die gültige Werte aufweisen. Zellen mit NoData-Werten sind nicht im Quellsatz enthalten. Der Wert 0 gilt als legitime Quelle. Mit den Extraktionswerkzeugen kann ein Quell-Raster erstellt werden.

Wenn es sich bei den Eingabequelldaten um eine Feature-Class handelt, werden die Quellpositionen vor der Analyse intern in ein Raster konvertiert.

Bei der Verwendung von Feature-Daten für die Eingabequelldaten muss darauf geachtet werden, wie die Ausgabezellengröße relativ zu den in der Eingabe vorhandenen Details behandelt wird, wenn sie grob ist. Der interne Rasterungsprozess verwendet denselben standardmäßigen Zellenzuweisungstyp wie das Werkzeug Feature zu Raster, das die Zellenmittelpunktmethode ist. Dies bedeutet, dass Daten, die sich nicht in der Mitte der Zelle befinden, nicht in die gerasterte Zwischenquellausgabe eingeschlossen werden und daher nicht in den Entfernungsberechnungen dargestellt werden. Wenn Ihre Quellen beispielsweise eine Reihe kleiner Polygone (z. B. Gebäudegrundrisse) sind, die im Verhältnis zur Größe der Ausgabezellen klein sind, ist es möglich, dass nur wenige unter die Mitte der Ausgabe-Rasterzellen fallen, was anscheinend die meisten verursacht die anderen gehen in der Analyse verloren.

Um diese Situation zu vermeiden, können Sie als Zwischenschritt die Eingabe-Features direkt mit dem Werkzeug Feature in Raster rastern und den Parameter Feld festlegen. Verwenden Sie dann die resultierende Ausgabe als Eingabe für das jeweilige Entfernungswerkzeug, das Sie verwenden möchten. Alternativ können Sie eine kleine Zellengröße auswählen, um die entsprechenden Details aus den Eingabe-Features zu erfassen.

Die maximale Entfernung wird in denselben Karteneinheiten wie die Eingabequelldaten angegeben.

Die Ausgabezellengröße kann durch einen numerischen Wert definiert oder aus einem vorhandenen Raster-Dataset abgerufen werden. Wenn die Zellengröße nicht explizit als Parameterwert angegeben wurde, wird sie aus der Umgebung Zellengröße abgeleitet, sofern sie angegeben wurde. Wenn der Parameter Zellengröße oder die Umgebungszellengröße nicht angegeben wurde, wird die Standard-Ausgabezellengröße basierend auf dem Typ des Eingabe-Datasets wie folgt bestimmt:

  • Wenn das Eingabe-Dataset ein Raster ist, wird die Zellengröße des Datasets verwendet.
  • Wenn das Eingabe-Dataset ein Feature ist und die Fang-Raster-Umgebung festgelegt wurde, wird die Zellengröße des Fang-Rasters verwendet. Wenn kein Fang-Raster festgelegt ist, wird die Zellengröße aus der kürzeren Breite oder Höhe der Ausdehnung dividiert durch 250 berechnet, wobei die Ausdehnung in dem in der Umgebung angegebenen Ausgabe-Koordinatensystem liegt.

Wenn die Zellengröße mit einem numerischen Wert angegeben wird, verwendet das Werkzeug sie direkt für das Ausgabe-Raster.

Wenn die Zellengröße mithilfe eines Raster-Datasets angegeben wird, zeigt der Parameter den Pfad des Raster-Datasets anstelle des Zellengrößenwerts an. Die Zellengröße dieses Raster-Datasets wird direkt in der Analyse verwendet, sofern der Raumbezug des Datasets mit dem Ausgabe-Raumbezug übereinstimmt. Wenn sich der Raumbezug des Datasets vom Ausgabe-Raumbezug unterscheidet, wird er basierend auf der ausgewählten Zellgrößen-Projektionsmethode projiziert.

Der Standardverarbeitungsbereich für dieses Werkzeug ist die Vereinigung von Eingaben. Der kombinierte Umfang beider Eingabedatensätze wird verarbeitet.

Dieses Tool unterstützt die parallele Verarbeitung. Wenn Ihr Computer über mehrere Prozessoren oder Prozessoren mit mehreren Kernen verfügt, kann insbesondere bei größeren Datensätzen eine bessere Leistung erzielt werden. Das Hilfethema Parallelverarbeitung mit Spatial Analyst enthält weitere Details zu dieser Funktion und deren Konfiguration.

Bei der Parallelverarbeitung werden temporäre Daten geschrieben, um die verarbeiteten Datenblöcke zu verwalten. Der standardmäßige Speicherort des temporären Ordners befindet sich auf Ihrem lokalen Laufwerk C:. Sie können den Speicherort dieses Ordners steuern, indem Sie eine Systemumgebungsvariable namens TempFolders einrichten und den Pfad zu einem zu verwendenden Ordner angeben (z. B. E:RasterCache ). Wenn Sie auf Ihrem Computer über Administratorrechte verfügen, können Sie auch einen Registrierungsschlüssel verwenden (z. B. [HKEY_CURRENT_USERSOFTWAREESRIArcGISProRaster]).

Standardmäßig verwendet dieses Tool 50 Prozent der verfügbaren Kerne. Wenn die Eingabedaten kleiner als 5.000 mal 5.000 Zellen sind, können weniger Kerne verwendet werden. Sie können die Anzahl der Kerne steuern, die das Tool mit der Umgebung des Parallelverarbeitungsfaktors verwendet.

Weitere Informationen zu den Geoverarbeitungsumgebungen, die für dieses Werkzeug gelten, finden Sie unter Analyseumgebungen und Spatial Analyst.


Syntax

Die Positionen der Eingangsquellen.

Dies ist ein Raster- oder Feature-Dataset, das die Zellen oder Positionen identifiziert, zu denen die euklidische Entfernung für jede Ausgabezellenposition berechnet wird.

Bei Rastern kann der Eingabetyp Ganzzahl oder Gleitkomma sein.

Definiert den Schwellenwert, den die kumulativen Entfernungswerte nicht überschreiten können.

Wenn ein kumulativer euklidischer Distanzwert diesen Wert überschreitet, lautet der Ausgabewert für die Zellenposition NoData.

Der Standardabstand ist zum Rand des Ausgabe-Rasters.

Die Zellengröße, mit der das Ausgabe-Raster erstellt wird.

  • Wenn die Quelle ein Raster ist, hat die Ausgabe dieselbe Zellengröße.
  • Wenn es sich bei der Quelle um ein Feature handelt, hat die Ausgabe eine Zellengröße, die durch die kürzere der Breite oder Höhe der Ausdehnung des Eingabe-Features im Eingabe-Raumbezug dividiert durch 250 bestimmt wird.

Das ausgegebene euklidische Distanz-Raster.

Das Entfernungs-Raster identifiziert für jede Zelle die euklidische Entfernung zur nächsten Quellzelle, zum Satz von Quellzellen oder zur Quellposition.

Das Ausgabe-Raster ist vom Gleitkommatyp.

Rückgabewert

Das Ausgabe-Euklidische Richtungs-Raster.

Das Richtungs-Raster enthält die berechnete Richtung in Grad, die jeder Zellmittelpunkt vom nächsten Quellzellmittelpunkt entfernt ist.

Der Wertebereich reicht von 0 Grad bis 360 Grad, wobei 0 für die Quellzellen reserviert ist. Genau nach Osten (rechts) ist 90 und die Werte steigen im Uhrzeigersinn (180 ist Süd, 270 ist West und 360 ist Nord).

Das Ausgabe-Raster ist vom Integer-Typ.


Syntax

Die Positionen der Eingangsquellen.

Dies ist ein Raster- oder Feature-Dataset, das die Zellen oder Positionen identifiziert, zu denen die euklidische Entfernung für jede Ausgabezellenposition berechnet wird.

Bei Rastern kann der Eingabetyp Ganzzahl oder Gleitkomma sein.

Der Schwellenwert, den die kumulativen Entfernungswerte nicht überschreiten dürfen.

Wenn ein kumulativer euklidischer Distanzwert diesen Wert überschreitet, lautet der Ausgabewert für die Zellenposition NoData.

Der Standardabstand ist zum Rand des Ausgabe-Rasters.

Die Zellengröße des Ausgabe-Rasters, das erstellt wird.

Dieser Parameter kann durch einen numerischen Wert definiert oder aus einem vorhandenen Raster-Dataset abgerufen werden. Wenn die Zellengröße nicht explizit als Parameterwert angegeben wurde, wird der Umgebungszellengrößenwert verwendet, falls anders angegeben, und es werden zusätzliche Regeln verwendet, um ihn aus den anderen Eingaben zu berechnen. Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt zur Verwendung.

Das Ausgabe-Euklidische Richtungs-Raster.

Das Richtungs-Raster enthält die berechnete Richtung in Grad, die jeder Zellmittelpunkt vom nächsten Quellzellmittelpunkt entfernt ist.

Der Wertebereich reicht von 0 Grad bis 360 Grad, wobei 0 für die Quellzellen reserviert ist. Genau nach Osten (rechts) ist 90, und die Werte steigen im Uhrzeigersinn (180 ist Süd, 270 ist West und 360 ist Nord).

Das Ausgabe-Raster ist vom Integer-Typ.

Gibt an, ob die Entfernung mit einer planaren (flache Erde) oder einer geodätischen (Ellipsoid) Methode berechnet werden soll.

  • PLANAR — Die Distanzberechnung wird auf einer projizierten flachen Ebene unter Verwendung eines kartesischen 2D-Koordinatensystems durchgeführt. Dies ist die Standardeinstellung.
  • GEODESIC — Die Entfernungsberechnung wird auf dem Ellipsoid durchgeführt. Daher ändern sich die Ergebnisse unabhängig von der Eingabe- oder Ausgabeprojektion nicht.

Der Datensatz, der die Barrieren definiert.

Die Barrieren können durch eine Ganzzahl oder ein Gleitkomma-Raster oder durch einen Feature-Layer definiert werden.

Das ausgegebene euklidische Rückwärtsrichtungs-Raster.

Das Rückwärtsrichtungs-Raster enthält die berechnete Richtung in Grad. Die Richtung identifiziert die nächste Zelle auf dem kürzesten Weg zurück zur nächsten Quelle, wobei Barrieren vermieden werden.

Der Wertebereich reicht von 0 Grad bis 360 Grad, wobei 0 für die Quellzellen reserviert ist. Genau nach Osten (rechts) ist 90, und die Werte steigen im Uhrzeigersinn (180 ist Süd, 270 ist West und 360 ist Nord).

Das Ausgabe-Raster ist vom Typ float.

Rückgabewert

Das ausgegebene euklidische Distanz-Raster.

Das Entfernungs-Raster identifiziert für jede Zelle die euklidische Entfernung zur nächsten Quellzelle, zum Satz von Quellzellen oder zur Quellposition.

Das Ausgabe-Raster ist vom Gleitkommatyp.


Syntax

Die Positionen der Eingangsquellen.

Dies ist ein Raster- oder Feature-Dataset, das die Zellen oder Positionen identifiziert, zu denen die euklidische Entfernung für jede Ausgabezellenposition berechnet wird.

Bei Rastern kann der Eingabetyp Ganzzahl oder Gleitkomma sein.

Definiert den Schwellenwert, den die kumulativen Entfernungswerte nicht überschreiten können.

Wenn ein kumulativer euklidischer Distanzwert diesen Wert überschreitet, lautet der Ausgabewert für die Zellenposition NoData.

Der Standardabstand ist zum Rand des Ausgabe-Rasters.

Die Zellengröße, mit der das Ausgabe-Raster erstellt wird.

  • Wenn die Quelle ein Raster ist, hat die Ausgabe dieselbe Zellengröße.
  • Wenn es sich bei der Quelle um ein Feature handelt, hat die Ausgabe eine Zellengröße, die durch die kürzere der Breite oder Höhe der Ausdehnung des Eingabe-Features im Eingabe-Raumbezug dividiert durch 250 bestimmt wird.

Das ausgegebene euklidische Distanz-Raster.

Das Entfernungs-Raster identifiziert für jede Zelle die euklidische Entfernung zur nächsten Quellzelle, zum Satz von Quellzellen oder zur Quellposition.

Das Ausgabe-Raster ist vom Gleitkommatyp.

Bestimmt, ob die Entfernung mit einer planaren (flache Erde) oder einer geodätischen (Ellipsoid) Methode berechnet wird.

  • PLANAR —Die Berechnung wird auf einer projizierten flachen Ebene unter Verwendung eines kartesischen 2D-Koordinatensystems durchgeführt. Dies ist die Standardmethode.
  • GEODESIC —Abstände werden auf dem Ellipsoid berechnet. Daher ändern sich die Ergebnisse unabhängig von der Eingabe- oder Ausgabeprojektion nicht.

Rückgabewert

Das Ausgabe-Euklidische Richtungs-Raster.

Das Richtungs-Raster enthält die berechnete Richtung in Grad, die jeder Zellmittelpunkt vom nächsten Quellzellmittelpunkt entfernt ist.

Der Wertebereich reicht von 0 Grad bis 360 Grad, wobei 0 für die Quellzellen reserviert ist. Genau nach Osten (rechts) ist 90 und die Werte steigen im Uhrzeigersinn (180 ist Süd, 270 ist West und 360 ist Nord).

Das Ausgabe-Raster ist vom Integer-Typ.


Berechnung der Differentialformen

B.2.2 Jenseits des dreidimensionalen Raums

Betrachten Sie nun den euklidischen Raum Enein. Ein allgemeines Differential (p − 1)-Form im Raum Enein wird durch Gleichung ( B.1 ) definiert:

Lassen Sie uns das genaue vorstellen p-form gleich:

Der allgemeine Satz von Stokes besagt, dass

wo Cp steht für die Grenze des geometrischen Elements Cpaus dem raum Enein.

Beachten Sie, dass geometrisches Element Cp kann als p-dimensionale Domäne in einem mehrdimensionalen Raum behandelt werden. Eine rigorose Definition mehrdimensionaler Gebiete und den Beweis des allgemeinen Stokes-Theorems findet der interessierte Leser in Lehrbüchern zur mathematischen Theorie der Differentialformen.

Im vorliegenden Text beschränken wir unsere Diskussion auf die intuitive Erklärung dieser wichtigen mathematischen Theorie. Die folgende formale Herleitung soll beispielsweise eine Vorstellung davon geben, wie wir zum Satz von Stokes gelangen können. Tatsächlich können wir die Darstellung ( B.42 ) in den linken Teil der Gleichung ( B.43 ) einsetzen und erhalten nach etwas Algebra den rechten Teil dieser Formel:

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die dreidimensionale Form des Satzes von Stokes ( 1.44) ein Spezialfall der allgemeinen Formel ( B.43 ) ist.


Euklidische Distanzkartierung und die vorgeschlagene Greenway-Methode in Malta

Der Schutz von Naturräumen ist einer der Schlüsselfaktoren bei der Entwicklung von Stadtgebieten, die auch den Bürgern erhebliche Erholungsmöglichkeiten bieten. Darüber hinaus sind diese Naturschutzgebiete auch deshalb wichtig, weil sie Lebensräume für Lebewesen sind. Die Integration einer Stadt in die natürliche Umgebung wird die soziale und wirtschaftliche Entwicklung unterstützen und die ökologische Struktur für eine nachhaltige Stadtentwicklung verbessern. Grüne Wege und ökologische Netzwerke sind in dieser Hinsicht Lebensräume von Lebewesen. Greenways schränken auch die Stadtentwicklung ein. In dieser Studie wurden Greenways für Malta unter Verwendung der Euklidischen Distanzkartierung (EDM) geschaffen, damit Standorte in Malta vor Stadtentwicklung geschützt werden. Die Naturschutzgebiete Maltas wurden nach der EDM-Methode in die Städte integriert. EDM ist eine Anwendung eines geografischen Informationssystems (GIS) und wurde verwendet, um die Stadtentwicklung mit Naturräumen einzuschränken. In dieser Studie wurde mit der EDM-Methode ein ökologisches Netzwerk unter den Schutzgebieten Maltas aufgebaut. Eines der wichtigsten Ergebnisse dieser Studie ist die Verbindung von sehr hochsensiblen und hochsensiblen Landschaftsgebieten Maltas mit hochgeschätzten Landschaftsgebieten durch ein Greenway-Netzwerk. Ein weiteres wichtiges Ergebnis war, dass sensible Landschaftsbereiche, die die Insel in südwest-nordöstlicher Richtung überqueren, die durch die EDM gebildete Pufferzone überlappten. Die EDM-Methode ergab, dass hochsensible Landschaftsbereiche Maltas erhalten werden können. EDM wird es ermöglichen, die Schutzgebiete Maltas ganzheitlich anzugehen. Es wird der Schluss gezogen, dass mit der EDM-Methode erstellte Grünwege zur Nachhaltigkeit der Schutzgebiete beigetragen und die sensiblen Landschaftsgebiete Maltas erhalten haben. Infolgedessen schuf diese Methode eine Reihe verbundener grüner Wege, die sowohl die städtische Expansion begrenzen als auch Malta eine lebenswertere Umgebung bieten.


Inhalt

In der Mathematik ist die Dimension eines Objekts grob gesagt die Anzahl der Freiheitsgrade eines Punktes, der sich auf diesem Objekt bewegt. Mit anderen Worten, die Bemaßung ist die Anzahl unabhängiger Parameter oder Koordinaten, die zum Definieren der Position eines auf das Objekt beschränkten Punktes benötigt werden. Zum Beispiel ist die Dimension eines Punktes null, die Dimension einer Linie ist eins, da sich ein Punkt auf einer Linie nur in eine Richtung (oder in die entgegengesetzte) bewegen kann, beträgt die Dimension einer Ebene zwei usw.

Die Dimension ist eine intrinsische Eigenschaft eines Objekts in dem Sinne, dass sie unabhängig von der Dimension des Raums ist, in den das Objekt eingebettet ist oder eingebettet werden kann. Eine Kurve, wie ein Kreis, hat beispielsweise die Dimension eins, da die Position eines Punktes auf einer Kurve durch seinen vorzeichenbehafteten Abstand entlang der Kurve zu einem festen Punkt auf der Kurve bestimmt wird. Dies ist unabhängig davon, dass eine Kurve nicht in einen euklidischen Raum mit einer Dimension kleiner als zwei eingebettet werden kann, es sei denn, es handelt sich um eine Linie.

Die Dimension des Euklidischen nein -Platz E nein ist nein . Wenn man versucht, auf andere Arten von Räumen zu verallgemeinern, steht man vor der Frage "was macht E nein nein -dimensional?" Eine Antwort ist, einen festen Ball in . zu bedecken E nein durch kleine Kugeln mit Radius ε , braucht man in der Größenordnung von εnein so kleine Kugeln. Diese Beobachtung führt zur Definition der Minkowski-Dimension und ihrer komplexeren Variante, der Hausdorff-Dimension, aber es gibt auch andere Antworten auf diese Frage. Zum Beispiel die Begrenzung einer Kugel in E nein sieht lokal aus wie E nein-1 und dies führt zum Begriff der induktiven Dimension. Während diese Vorstellungen übereinstimmen E nein , sie fallen anders aus, wenn man allgemeinere Räume betrachtet.

Ein Tesserakt ist ein Beispiel für ein vierdimensionales Objekt. Während außerhalb der Mathematik der Begriff "Dimension" verwendet wird wie in: "A tesseract hat vier Dimensionen“, drücken Mathematiker dies normalerweise so aus: „Der Tesserakt hat Maß 4“, oder: „Die Dimension des Tesserakts ist 4" oder: 4D.

Obwohl die Vorstellung von höheren Dimensionen auf René Descartes zurückgeht, begann eine wesentliche Entwicklung einer höherdimensionalen Geometrie erst im 19. Jahrhundert durch die Arbeiten von Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli und Bernhard Riemann. Riemanns Habilitationsschrift von 1854, Schläflis 1852 Theorie der vielfachen Kontinuität, und Hamiltons Entdeckung der Quaternionen und John T. Graves' Entdeckung der Oktonionen im Jahr 1843 markierten den Beginn der höherdimensionalen Geometrie.

Der Rest dieses Abschnitts untersucht einige der wichtigeren mathematischen Definitionen von Dimensionen.

Vektorräume Bearbeiten

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis für den Raum, d. h. die Anzahl der Koordinaten, die erforderlich sind, um einen Vektor zu spezifizieren. Dieser Dimensionsbegriff (die Kardinalität einer Basis) wird oft als Hameln Dimension oder algebraische Dimension um es von anderen Dimensionen zu unterscheiden.

Für den nicht freien Fall verallgemeinert sich dies auf den Begriff der Länge eines Moduls.

Verteiler Bearbeiten

Die eindeutig definierte Dimension jeder zusammenhängenden topologischen Mannigfaltigkeit kann berechnet werden. Eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph nach Euklidisch nein -Raum, in dem die Zahl nein ist die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Bei zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist die Dimension auch die Dimension des Tangentialvektorraums an einem beliebigen Punkt.

In der geometrischen Topologie ist die Mannigfaltigkeitstheorie dadurch gekennzeichnet, dass die Dimensionen 1 und 2 relativ elementar sind, die hochdimensional Fälle nein > 4 werden durch zusätzlichen Platz zum "Arbeiten" und die Fälle vereinfacht the nein = 3 und 4 sind in gewisser Weise die schwierigsten. Dieser Sachverhalt war in den verschiedenen Fällen der Poincaré-Vermutung stark ausgeprägt, wo vier verschiedene Beweismethoden angewendet werden.

Komplexe Dimension Bearbeiten

Die Dimension einer Mannigfaltigkeit hängt vom Basiskörper ab, über den der euklidische Raum definiert wird. Während die Analysis normalerweise davon ausgeht, dass eine Mannigfaltigkeit über den reellen Zahlen liegt, ist es manchmal beim Studium komplexer Mannigfaltigkeiten und algebraischer Varietäten nützlich, stattdessen über die komplexen Zahlen zu arbeiten. Eine komplexe Zahl (x + iy) hat einen echten Anteil x und ein Imaginärteil ja, wobei x und y beide reelle Zahlen sind, daher ist die komplexe Dimension die Hälfte der reellen Dimension.

Umgekehrt kann in algebraisch nicht eingeschränkten Kontexten ein einzelnes komplexes Koordinatensystem auf ein Objekt mit zwei reellen Dimensionen angewendet werden. Zum Beispiel wird eine gewöhnliche zweidimensionale Kugeloberfläche, wenn sie eine komplexe Metrik erhält, zu einer Riemann-Kugel mit einer komplexen Dimension. [3]

Sorten Bearbeiten

Die Dimension einer algebraischen Varietät kann auf verschiedene äquivalente Weise definiert werden. Der intuitivste Weg ist wahrscheinlich die Dimension des Tangentialraums an einem regulären Punkt einer algebraischen Varietät. Eine andere intuitive Möglichkeit besteht darin, die Dimension als die Anzahl der Hyperebenen zu definieren, die benötigt werden, um einen Schnittpunkt mit der auf eine endliche Anzahl von Punkten reduzierten Vielfalt (Dimension Null) zu haben. Diese Definition basiert auf der Tatsache, dass der Schnittpunkt einer Sorte mit einer Hyperebene die Dimension um eins reduziert, es sei denn, die Hyperebene enthält die Sorte.

Eine algebraische Menge ist eine endliche Vereinigung algebraischer Varietäten, ihre Dimension ist das Maximum der Dimensionen ihrer Komponenten. Sie ist gleich der maximalen Länge der Ketten V 0 ⊊ V 1 ⊊ ⋯ ⊊ V d subsetneq V_<1>subsetneq cdots subsetneq V_> von Untervarietäten der gegebenen algebraischen Menge (die Länge einer solchen Kette ist die Anzahl von " ⊊ ").

Jede Varietät kann als algebraischer Stapel betrachtet werden, und ihre Dimension als Varietät stimmt mit ihrer Dimension als Stapel überein. Es gibt jedoch viele Stapel, die nicht den Sorten entsprechen, und einige davon haben eine negative Dimension. Insbesondere, wenn V ist eine Vielzahl von Dimensionen ich und G ist eine algebraische Dimensionsgruppe nein Einwirken auf V, dann ist der Quotientenstapel [V/G] hat Dimension ichnein. [4]

Krull-Dimension Bearbeiten

Für eine Algebra über einem Körper ist die Dimension als Vektorraum genau dann endlich, wenn ihre Krull-Dimension 0 ist.

Topologische Räume Bearbeiten

Für jeden normalen topologischen Raum X , die Lebesgue-Abdeckungsdimension von X ist definiert als die kleinste ganze Zahl nein für die Folgendes gilt: Jede offene Abdeckung hat eine offene Verfeinerung (eine zweite offene Abdeckung, bei der jedes Element eine Teilmenge eines Elements in der ersten Abdeckung ist), sodass kein Punkt in mehr als . enthalten ist nein + 1 Elemente. In diesem Fall dimmen X = nein . Zum X eine Mannigfaltigkeit, dies stimmt mit der oben erwähnten Dimension überein. Wenn keine solche ganze Zahl nein existiert, dann ist die Dimension von X heißt unendlich, und man schreibt dim X = . Außerdem, X hat Dimension −1, d.h. dim X = −1 genau dann, wenn X ist leer. Diese Definition der Überdeckungsdimension kann von der Klasse der Normalräume auf alle Tychonoff-Räume erweitert werden, indem lediglich der Begriff "offen" in der Definition durch den Begriff "funktional offen".

Eine induktive Dimension kann induktiv wie folgt definiert werden. Betrachten Sie eine diskrete Menge von Punkten (z. B. eine endliche Sammlung von Punkten) als 0-dimensional. Durch Ziehen eines 0-dimensionalen Objekts in eine Richtung erhält man ein 1-dimensionales Objekt. Durch Ziehen eines 1-dimensionalen Objekts in a neue Richtung, erhält man ein 2-dimensionales Objekt. Im Allgemeinen erhält man eine ( nein + 1 )-dimensionales Objekt durch Ziehen an nein -dimensionales Objekt in a Neu Richtung. Die induktive Dimension eines topologischen Raums kann sich auf die kleine induktive Dimension oder der große induktive Dimension, und basiert auf der Analogie, dass bei metrischen Räumen ( nein + 1 )-dimensionale Kugeln haben nein -dimensionale Grenzen, die eine induktive Definition basierend auf der Dimension der Grenzen offener Mengen ermöglichen. Darüber hinaus ist die Grenze einer diskreten Menge von Punkten die leere Menge, und daher kann die leere Menge mit der Dimension -1 angenommen werden. [5]

In ähnlicher Weise ist für die Klasse der CW-Komplexe die Dimension eines Objekts das größte n, für das das n-Skelett nicht trivial ist. Intuitiv lässt sich dies wie folgt beschreiben: Wenn der ursprüngliche Raum kontinuierlich in eine Ansammlung höherdimensionaler Dreiecke verformt werden kann, die an ihren Flächen mit einer komplizierten Oberfläche verbunden sind, dann ist die Dimension des Objekts die Dimension dieser Dreiecke. [ Zitat benötigt ]

Hausdorff-Bemaßung Bearbeiten

Die Hausdorff-Dimension ist nützlich, um strukturell komplizierte Mengen zu untersuchen, insbesondere Fraktale. Die Hausdorff-Dimension ist für alle metrischen Räume definiert und kann im Gegensatz zu den oben betrachteten Dimensionen auch nicht ganzzahlige reelle Werte haben. [6] Die Box-Dimension oder Minkowski-Dimension ist eine Variante derselben Idee. Im Allgemeinen gibt es mehr Definitionen fraktaler Dimensionen, die für stark unregelmäßige Mengen funktionieren und nicht ganzzahlige positive reelle Werte erreichen. Fraktale haben sich als nützlich erwiesen, um viele natürliche Objekte und Phänomene zu beschreiben. [7] [ Seite benötigt ] [8] [ Seite benötigt ]

Hilbert-Räume Bearbeiten

Jeder Hilbertraum lässt eine Orthonormalbasis zu, und zwei solcher Basen für einen bestimmten Raum haben dieselbe Kardinalität. Diese Kardinalität wird die Dimension des Hilbertraums genannt. Diese Dimension ist genau dann endlich, wenn die Hamel-Dimension des Raums endlich ist und in diesem Fall die beiden Dimensionen zusammenfallen.

Räumliche Abmessungen Bearbeiten

Klassische Physiktheorien beschreiben drei physikalische Dimensionen: Von einem bestimmten Punkt im Raum aus sind die grundlegenden Richtungen, in die wir uns bewegen können, nach oben/unten, links/rechts und vorwärts/rückwärts. Bewegung in jede andere Richtung kann nur durch diese drei ausgedrückt werden. Das Abwärtsbewegen ist das gleiche wie das Aufwärtsbewegen um eine negative Distanz. Sich diagonal nach oben und vorne zu bewegen ist genau wie der Name der Richtung schon sagt d.h., bewegt sich in einer linearen Kombination von oben und vorwärts. In seiner einfachsten Form: Eine Linie beschreibt eine Dimension, eine Ebene beschreibt zwei Dimensionen und ein Würfel beschreibt drei Dimensionen. (Siehe Raum und kartesisches Koordinatensystem.)

Zeit Bearbeiten

EIN zeitliche Dimension, oder Zeit Dimension, ist eine Dimension der Zeit. Die Zeit wird aus diesem Grund oft als "vierte Dimension" bezeichnet, aber das bedeutet nicht, dass es sich um eine räumliche Dimension handelt. Eine zeitliche Dimension ist eine Möglichkeit, physikalische Veränderungen zu messen. Anders als die drei Raumdimensionen wird es dadurch wahrgenommen, dass es nur eine davon gibt und wir uns zeitlich nicht frei, sondern subjektiv in eine Richtung bewegen können.

Die Gleichungen, die in der Physik verwendet werden, um die Realität zu modellieren, behandeln die Zeit nicht so, wie Menschen sie normalerweise wahrnehmen. Die Gleichungen der klassischen Mechanik sind zeitsymmetrisch, und Gleichungen der Quantenmechanik sind typischerweise symmetrisch, wenn sowohl die Zeit als auch andere Größen (wie Ladung und Parität) umgekehrt werden. In diesen Modellen ist die Wahrnehmung der Zeit, die in eine Richtung fließt, ein Artefakt der Gesetze der Thermodynamik (wir nehmen die Zeit als in Richtung zunehmender Entropie fließend wahr).

Die bekannteste Behandlung der Zeit als Dimension ist die spezielle Relativitätstheorie von Poincaré und Einstein (und erweitert auf die allgemeine Relativitätstheorie), die den wahrgenommenen Raum und die wahrgenommene Zeit als Komponenten einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit, der sogenannten Raumzeit, und im speziellen flachen Fall behandelt als Minkowski-Raum. Die Zeit unterscheidet sich von anderen räumlichen Dimensionen, da die Zeit in allen räumlichen Dimensionen wirkt. Die Zeit operiert in der ersten, zweiten und dritten sowie theoretischen Raumdimensionen wie einer vierten Raumdimension. Zeit ist jedoch nicht in einem einzigen Punkt absolut unendlicher Singularität im Sinne eines geometrischen Punktes vorhanden, da ein unendlich kleiner Punkt keine Veränderung und damit keine Zeit haben kann. So wie sich ein Objekt, das geworfen wird, durch Positionen im Raum bewegt, bewegt sich das Objekt auch in Zeitpositionen, in diesem Sinne ist die Kraft, die jedes Objekt zur Veränderung bewegt, Zeit. [9] [10] [11] [12]

Zusätzliche Abmessungen Bearbeiten

In der Physik sind drei Dimensionen des Raumes und eine der Zeit die akzeptierte Norm. Es gibt jedoch Theorien, die versuchen, die vier fundamentalen Kräfte durch die Einführung zusätzlicher Dimensionen/Hyperspaces zu vereinen. Vor allem erfordert die Superstring-Theorie 10 Raumzeit-Dimensionen und stammt aus einer grundlegenderen 11-dimensionalen Theorie, die vorläufig als M-Theorie bezeichnet wird und die fünf zuvor verschiedene Superstring-Theorien subsumiert. Die Supergravitationstheorie fördert auch 11D-Raumzeit = 7D-Hyperraum + 4 gemeinsame Dimensionen. Bis heute gibt es keine direkten experimentellen oder beobachtenden Beweise, die die Existenz dieser zusätzlichen Dimensionen belegen. Wenn Hyperraum existiert, muss er durch irgendeinen physikalischen Mechanismus vor uns verborgen werden. Eine gut untersuchte Möglichkeit besteht darin, dass die zusätzlichen Dimensionen in so winzigen Maßstäben "zusammengerollt" werden können, dass sie für aktuelle Experimente effektiv unsichtbar sind. Grenzen der Größe und anderer Eigenschaften zusätzlicher Dimensionen werden durch Teilchenexperimente gesetzt [ Klärung nötig ] wie die am Large Hadron Collider. [13]

1921 präsentierte die Kaluza-Klein-Theorie 5D mit einer zusätzlichen Raumdimension. Auf der Ebene der Quantenfeldtheorie vereint die Kaluza-Klein-Theorie Gravitation mit Eichwechselwirkungen, basierend auf der Erkenntnis, dass sich die Gravitation in kleinen, kompakten Extradimensionen ausbreitet, Eichwechselwirkungen auf große Entfernungen entspricht. Insbesondere wenn die Geometrie der zusätzlichen Dimensionen trivial ist, reproduziert sie den Elektromagnetismus. Bei ausreichend hohen Energien oder kurzen Entfernungen leidet dieser Aufbau jedoch immer noch unter den gleichen Pathologien, die bekanntermaßen direkte Versuche zur Beschreibung der Quantengravitation behindern. Daher erfordern diese Modelle immer noch eine UV-Vervollständigung, wie sie die Stringtheorie bieten soll. Insbesondere erfordert die Superstringtheorie sechs kompakte Dimensionen (6D-Hyperraum), die eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit bilden. Somit kann die Kaluza-Klein-Theorie entweder als eine unvollständige Beschreibung für sich betrachtet oder als Teilmenge der Modellbildung der Stringtheorie betrachtet werden.

Zusätzlich zu kleinen und zusammengerollten zusätzlichen Dimensionen kann es zusätzliche Dimensionen geben, die stattdessen nicht sichtbar sind, weil die Materie, die mit unserem sichtbaren Universum verbunden ist, in einem (3 + 1)-dimensionalen Unterraum lokalisiert ist. Somit müssen die zusätzlichen Abmessungen nicht klein und kompakt sein, sondern können große zusätzliche Abmessungen sein. D-Branen sind dynamisch erweiterte Objekte verschiedener Dimensionalitäten, die von der Stringtheorie vorhergesagt wurden und diese Rolle spielen könnten. Sie haben die Eigenschaft, dass offene Stringanregungen, die mit Eichwechselwirkungen verbunden sind, durch ihre Endpunkte auf die Brane beschränkt sind, während sich die geschlossenen Strings, die die Gravitationswechselwirkung vermitteln, frei in die gesamte Raumzeit oder "das Volumen" ausbreiten können. Dies könnte damit zusammenhängen, warum die Schwerkraft exponentiell schwächer ist als die anderen Kräfte, da sie sich effektiv selbst verdünnt, wenn sie sich in ein höherdimensionales Volumen ausbreitet.

Einige Aspekte der Branphysik wurden auf die Kosmologie angewendet. Beispielsweise versucht die Brangaskosmologie [14] [15] mit topologischen und thermodynamischen Überlegungen zu erklären, warum es drei Raumdimensionen gibt. Nach dieser Idee wäre es, weil drei die größte Anzahl räumlicher Dimensionen sind, in denen sich Strings generisch schneiden können. Wenn anfangs viele Wicklungen von Saiten mit kompakten Abmessungen vorhanden sind, könnte sich der Raum nur auf makroskopische Größen ausdehnen, wenn diese Wicklungen eliminiert sind, was erfordert, dass entgegengesetzt gewickelte Saiten sich finden und vernichten. Aber Strings können sich nur finden, um sich mit einer sinnvollen Rate in drei Dimensionen zu vernichten, so dass bei dieser Art von Anfangskonfiguration nur drei Raumdimensionen groß werden dürfen.

Zusätzliche Dimensionen werden als universell bezeichnet, wenn sich alle Felder in ihnen gleichermaßen frei ausbreiten können.

Mehrere Arten digitaler Systeme basieren auf der Speicherung, Analyse und Visualisierung von geometrischen Formen, einschließlich Illustrationssoftware, computergestütztem Design und geografischen Informationssystemen. Verschiedene Vektorsysteme verwenden eine Vielzahl von Datenstrukturen, um Formen darzustellen, aber fast alle basieren im Wesentlichen auf einem Satz von geometrischen Primitiven, die den räumlichen Dimensionen entsprechen: [16]

  • Punkt (0-dimensional), eine einzelne Koordinate in einem kartesischen Koordinatensystem.
  • Linie oder Polylinie (1-dimensional), normalerweise dargestellt als geordnete Liste von Punkten, die von einer durchgehenden Linie abgetastet werden, woraufhin von der Software erwartet wird, dass sie die dazwischenliegende Form der Linie als gerade oder gekrümmte Liniensegmente interpoliert.
  • Polygon (2-dimensional), normalerweise dargestellt als Linie, die sich an ihren Endpunkten schließt und die Grenze einer zweidimensionalen Region darstellt. Es wird erwartet, dass die Software diese Grenze verwendet, um den 2-dimensionalen Raum in einen Innen- und einen Außenraum zu unterteilen.
  • Oberfläche (3-dimensional), dargestellt mit einer Vielzahl von Strategien, z. B. einem Polyeder, das aus verbundenen Polygonflächen besteht. Die Software soll diese Oberfläche verwenden, um den dreidimensionalen Raum in ein Inneres und ein Äußeres zu unterteilen.

Häufig kann in diesen Systemen, insbesondere GIS und Kartographie, eine Darstellung eines realen Phänomens eine andere (normalerweise niedrigere) Dimension haben als das dargestellte Phänomen. Beispielsweise kann eine Stadt (eine zweidimensionale Region) als ein Punkt dargestellt werden, oder eine Straße (ein dreidimensionales Materialvolumen) kann als eine Linie dargestellt werden. Diese dimensionale Verallgemeinerung korreliert mit Tendenzen in der räumlichen Wahrnehmung. For example, asking the distance between two cities presumes a conceptual model of the cities as points, while giving directions involving travel "up," "down," or "along" a road imply a one-dimensional conceptual model. This is frequently done for purposes of data efficiency, visual simplicity, or cognitive efficiency, and is acceptable if the distinction between the representation and the represented is understood, but can cause confusion if information users assume that the digital shape is a perfect representation of reality (i.e., believing that roads really are lines).

Some complex networks are characterized by fractal dimensions. [17] The concept of dimension can be generalized to include networks embedded in space. [18] The dimension characterize their spatial constraints.

Science fiction texts often mention the concept of "dimension" when referring to parallel or alternate universes or other imagined planes of existence. This usage is derived from the idea that to travel to parallel/alternate universes/planes of existence one must travel in a direction/dimension besides the standard ones. In effect, the other universes/planes are just a small distance away from our own, but the distance is in a fourth (or higher) spatial (or non-spatial) dimension, not the standard ones.

One of the most heralded science fiction stories regarding true geometric dimensionality, and often recommended as a starting point for those just starting to investigate such matters, is the 1884 novella Flatland by Edwin A. Abbott. Isaac Asimov, in his foreword to the Signet Classics 1984 edition, described Flatland as "The best introduction one can find into the manner of perceiving dimensions."

The idea of other dimensions was incorporated into many early science fiction stories, appearing prominently, for example, in Miles J. Breuer's The Appendix and the Spectacles (1928) and Murray Leinster's The Fifth-Dimension Catapult (1931) and appeared irregularly in science fiction by the 1940s. Classic stories involving other dimensions include Robert A. Heinlein's —And He Built a Crooked House (1941), in which a California architect designs a house based on a three-dimensional projection of a tesseract Alan E. Nourse's Tiger by the Tail und The Universe Between (both 1951) and The Ifth of Oofth (1957) by Walter Tevis. Another reference is Madeleine L'Engle's novel A Wrinkle In Time (1962), which uses the fifth dimension as a way for "tesseracting the universe" or "folding" space in order to move across it quickly. The fourth and fifth dimensions are also a key component of the book The Boy Who Reversed Himself by William Sleator.

Immanuel Kant, in 1783, wrote: "That everywhere space (which is not itself the boundary of another space) has three dimensions and that space in general cannot have more dimensions is based on the proposition that not more than three lines can intersect at right angles in one point. This proposition cannot at all be shown from concepts, but rests immediately on intuition and indeed on pure intuition a priori because it is apodictically (demonstrably) certain." [19]

"Space has Four Dimensions" is a short story published in 1846 by German philosopher and experimental psychologist Gustav Fechner under the pseudonym "Dr. Mises". The protagonist in the tale is a shadow who is aware of and able to communicate with other shadows, but who is trapped on a two-dimensional surface. According to Fechner, this "shadow-man" would conceive of the third dimension as being one of time. [20] The story bears a strong similarity to the "Allegory of the Cave" presented in Plato's The Republic (c. 380 BC).

Simon Newcomb wrote an article for the Bulletin of the American Mathematical Society in 1898 entitled "The Philosophy of Hyperspace". [21] Linda Dalrymple Henderson coined the term "hyperspace philosophy", used to describe writing that uses higher dimensions to explore metaphysical themes, in her 1983 thesis about the fourth dimension in early-twentieth-century art. [22] Examples of "hyperspace philosophers" include Charles Howard Hinton, the first writer, in 1888, to use the word "tesseract" [23] and the Russian esotericist P. D. Ouspensky.


Try scipy.spatial.distance.pdist(myArr) . This will give you a condensed distance matrix. You can use argmin on it and find the index of the smallest value. This can be converted into the pair information.

There's a whole Wikipedia page on just this problem, see: http://en.wikipedia.org/wiki/Closest_pair_of_points

Executive summary: you can achieve O(n log n) with a recursive divide and conquer algorithm (outlined on the Wiki page, above).

You could take advantage of the latest version of SciPy's (v0.9) Delaunay triangulation tools. You can be sure that the closest two points will be an edge of a simplex in the triangulation, which is a much smaller subset of pairs than doing every combination.

Here's the code (updated for general N-D):

There is a scipy function pdist that will get you the pairwise distances between points in an array in a fairly efficient manner:

that outputs the N*(N-1)/2 unique pairs (since r_ij == r_ji). You can then search on the minimum value and avoid the whole loop mess in your code.

Perhaps you could proceed along these lines:

With substantially more points you need to be able to somehow utilize the hierarchical structure of your clustering.

How fast is it compared to just doing a nested loop and keeping track of the shortest pair? I think creating a huge cross array is what might be hurting you. Even O(n^2) is still pretty quick if you're only doing 2 dimensional points.

The accepted answer is OK for small datasets, but its execution time scales as n**2 . However, as pointed out by @payne, an optimal solution can achieve n*log(n) computation time scaling.

This optial solution can be obtained using sklearn.neighbors.BallTree as follows.

This procedure scales well for very large sets of xy values and even for large dimensions dim (altough the example illustrates the case dim=2 ). The resulting output looks like this


An algorithm for calculating minimum Euclidean distance between two geographic features

An efficient algorithm is presented for determining the shortest Euclidean distance between two features of arbitrary shape that are represented in quadtree form. These features may be disjoint point sets, lines, or polygons. It is assumed that the features do not overlap. Features also may be intertwined and polygons may be complex (i.e. have holes).

Utilizing a spatial divide-and-conquer approach inherent in the quadtree data model, the basic rationale is to narrow-in on portions of each feature quickly that are on a facing edge relative to the other feature, and to minimize the number of point-to-point Euclidean distance calculations that must be performed. Besides offering an efficient, grid-based alternative solution, another unique and useful aspect of the current algorithm is that is can be used for rapidly calculating distance approximations at coarser levels of resolution.

The overall process can be viewed as a top-down parallel search. Using one list of leafcode addresses for each of the two features as input, the algorithm is implemented by successively dividing these lists into four sublists for each descendant quadrant. The algorithm consists of two primary phases. The first determines facing adjacent quadrant pairs where part or all of the two features are separated between the two quadrants, respectively. The second phase then determines the closest pixel-level subquadrant pairs within each facing quadrant pair at the lowest level. The key element of the second phase is a quick estimate distance heuristic for further elimination of locations that are not as near as neighboring locations.


Schau das Video: Die Euklidische Normalform einer Quadrik ermitteln mit Quadratischer Ergänzung lineare Algebra (Oktober 2021).