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5.1: Grundlagen der Wellenausbreitung - Geowissenschaften


Um einige der komplexeren Aspekte der Seismologie zu verstehen, müssen wir zunächst am Anfang beginnen und uns mit den Grundlagen der Wellenausbreitung vertraut machen. In diesem Abschnitt werden wir drei Hauptkonzepte untersuchen:

  1. Die Grundlagen der Wellen
  2. Arten von seismischen Wellen
  3. Optik: Reflexion, Transmission (Refraktion) und Snell's Law

Die Grundlagen der Wellen

In der obigen Abbildung ist (lambda) die Wellenlänge in Metern und (A) die Amplitude in (mu-cm). Wenn du bei x stehen würdest1 und beobachten Sie, wie die Welle vorbeizieht, Sie würden Abbildung (PageIndex{1}) sehen:

wobei T die Periode in s und (f) die Frequenz in Hz ist. Frequenz und Periode haben die Beziehung (f=frac{1}{T}), also (Hz=frac{1}{s}).

Zum Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit und seismischer Geschwindigkeit:

[v=flambda; left[dfrac{m}{s} ight]]

Licht hat eine ähnliche Beziehung zwischen Frequenz und Wellenlänge,

(c=flambda), wobei unterschiedliche Werte für (flambda) unterschiedliche Lichtfarben ergeben.

Abbildung (PageIndex{2}): Periode

Arten von seismischen Wellen

Eine Kategorie seismischer Wellen sind Körperwellen. Körperwellen sind Wellen, von denen Sie wahrscheinlich schon einmal gehört haben, P-Wellen und S-Wellen. P-Wellen wirken wie eine Ziehharmonika und bewegen sich parallel zur Ausbreitungsrichtung.

S-Wellen können zwei Bewegungskomponenten haben, vertikal und horizontal. Die meisten S-Wellen haben normalerweise beide Komponenten, S-vert und S-horiz, die polarisiert werden können.

Die andere Kategorie seismischer Wellen sind Oberflächenwellen, die mit der Tiefe abklingen. Somit sind sie, wie der Name schon sagt, an der Oberfläche am stärksten. Es gibt zwei Hauptoberflächenwellen, Love-Wellen und Rayleigh-Wellen. Liebeswellen haben eine Teilchenbewegung wie die der S-H-Komponente.

Rayleigh-Wellen haben die Komponenten einer P-Welle und einer S-V-Welle. Die Teilchenbewegung ist rückläufig.

Wie schnell bewegen sich diese Wellen tatsächlich? Die Wellengeschwindigkeit hängt von zwei Dingen ab, der Dichte des Materials, durch das sich die Wellen bewegen und der elastischen Konstante oder „Steifigkeit“. Die Dichte ist der Schlüssel zur Wellengeschwindigkeit, da die Welle Masse bewegen muss. Stellen Sie sich vor, Sie bewegen zwei Materialien in einem wellenförmigen Muster, eine Schnur und ein Metallkabel. Es braucht mehr Energie, um das massivere Metallkabel zu bewegen als die Saite, da das Kabel viel dichter ist. Um die elastische Konstante zu verstehen, stellen Sie sich vor, ein Garn und ein steifes Seil zu bewegen. Im Garn ist es schwierig, die Welle in Bewegung zu bringen, da dem Material die Steifigkeit fehlt. Mit diesen beiden Eigenschaften können wir eine Beziehung für die Wellengeschwindigkeit schreiben:

[vproptofrac{ ext{elastische Konstante}}{ ext{Dichte}}]

Als v(uparrow), ( hodownarrow), die elastische Konstante (uparrow).

Weitere nützliche Beziehungen beim Umgang mit Spannungs-Dehnungen durch seismische Wellen sind

[sigma=Eepsilon]

wobei (E) . ist Elastizitätsmodul die wir in Kapitel 1 besprochen haben.

[F=-kDelta x]

Wobei (k) die Federkonstante ist.

[ u=frac{epsilon_1}{epsilon_3}]

Neben der Spannungs-Dehnungs-Verformung haben wir auch Schubverformung.

[epsilon_s=frac{1}{2}frac{Delta x}{y}]

[sigma_s=2Gepsilon_s]

wobei (G) der Schubmodul ist.

[G=frac{sigma_s}{2epsilon_s}left[frac{N}{m^2} ight]]

Wir können auch haben volumetrische Dehnung.

[frac{Delta V}{V}=frac{V_f-V_o}{V_o}]

[P=kappafrac{Delta V}{V}]

Wobei (kappa) der Massenmodul ist

[kappa=frac{P}{(frac{Delta V}{V})}[frac{N}{m^2}]]

Um einige der Konstanten, die wir bisher gelernt haben, zusammenzufassen und zu überprüfen:

  • E-Young-Modul (Dehnungsdehnung)
  • (mu)-Poisson-Verhältnis (Kompensationsdeformation)
  • G-Scherdehnung
  • (kappa)-Volumenänderung

Bei seismischen Berechnungen können Sie einen Satz (E und (mu)) oder den anderen (G und (kappa)) verwenden.

Lassen Sie uns nun lernen, wie man seismische Geschwindigkeiten tatsächlich berechnet. Für P-Wellen:

[v_p=sqrt{frac{kappa+frac{4}{3}G}{ ho}};oder;sqrt{frac{E}{ ho}frac{(1- u)}{(1-2 u)(1+ u)}}]

Für S-Wellen können wir die Geschwindigkeit berechnen als:

[v_s=sqrt{frac{G}{ ho}};oder;sqrt{frac{E}{ ho}frac{1}{(2(1+ u))} }]

Um das Verhältnis von P- und S-Wellengeschwindigkeiten zu ermitteln:

[frac{v_p}{v_s}=sqrt{frac{2(1- u)}{(1-2 u)}}]

Wir sehen also, dass dies nur von ( u) abhängt. Dieses Verhältnis ist ein guter Indikator für Gas/Flüssigkeiten in der Explorationsgeologie

  • (frac{v_p}{v_s}<2) steht für Gas+Sand
  • (frac{v_p}{v_s}>2) gibt nur Sand an

Im Allgemeinen finden wir, dass vp~1.7vso (~50% schneller).

Leider können wir für Oberflächenwellen wegen der Tiefenabhängigkeit keine Gleichungen für (v_R) und (v_L) aufschreiben. Um ihre Geschwindigkeit zu bestimmen, müssen wir also die Wellengleichung mit Randbedingungen lösen.

Optik: Reflexion, Transmission (Refraktion) und Snell's Law

Wir können den Strahlengang verwenden, um darüber nachzudenken, was mit einer Welle passiert, wenn sie auf eine Grenze trifft.

Die wichtigste Information, die Sie der obigen Abbildung entnehmen können, ist ( heta_i= heta_r), d. h. der Einfallswinkel = der Reflexionswinkel. Wir haben uns jetzt mit der Reflexion von Wellen befasst, aber was ist mit der Brechung?

[T_{p-p'}=frac{d}{v_1}+frac{e}{v_1}=frac{sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+frac{ sqrt{b^2+(cx)^2}}{v_2}]

Das Fermatsche Prinzip der kleinsten Zeit besagt, dass der Strahl dem Weg folgt, der die kürzeste Zeit. Aus diesem Prinzip können wir eines der wichtigsten Gesetze der Seismologie ableiten, das Snell-Gesetz.

[egin{align*} frac{dT}{dx}=0 [4pt] &=frac{x}{v_1sqrt{a^2+x^2}}-frac{(cx )}{v_2sqrt{b^2+(cx)^2}} end{align*}]

wobei (sin heta_i=frac{x}{sqrt{a^2+x^2}}) und (sin heta_r=frac{(cx)}{sqrt{b^2 +(cx)^2}})

Jetzt können wir die Gleichung umschreiben als:

[frac{dT}{dx}=frac{sin heta_i}{v_1}-frac{sin heta_r}{v_2}]

[frac{sin heta_i}{v_1}=frac{sin heta_r}{v_2}]

Die obige Gleichung ist das Snellsche Gesetz. Um das Fermatsche Prinzip besser zu verstehen und warum ein Strahl den kürzesten Weg nimmt, können wir auch (frac{sin heta_i}{v_1})=p=Langsamkeit sagen. Diese Langsamkeit ist entlang eines Strahlengangs konstant.

[frac{sin(i)}{v}=konstante=p]

Der Strahlengang krümmt sich, um sich an die sich ändernde Geschwindigkeit zwischen verschiedenen Medien anzupassen. Somit dauert der Strahl am kürzesten Zeit Pfad. Werfen wir nun einen genaueren Blick auf das Gesetz von Snell, was es uns sagt und was es so nützlich macht.

Die Abbildung zeigt den Unterschied zwischen Reflexion und Brechung, wenn ein Strahl auf eine Grenze trifft.

[frac{sin heta_i}{v_1}=frac{sin heta_{refr}}{v_2}]

Wenn wir v . weiter erhöhen2, ( heta_r) erhöht sich bis zu 90Ö. Bei 90Ö, haben wir kritische Brechung, wobei (sin(90^o)=1). Setzen wir dies in das Snell-Gesetz ein, erhalten wir:

[frac{sin heta_i}{v_1}=frac{1}{v_2}]

[ heta_{ic}=Sünde^{-1}(frac{v_1}{v_2})]

Wenn ( heta_{ir}> heta_{ic}), erhalten wir Totalreflexion. Was sagt uns eigentlich das Snellsche Gesetz? (Langsamkeit)

v nimmt mit der Tiefe zu, i nimmt zu.

v nimmt mit der Tiefe ab, i nimmt ab.

Abbildung (PageIndex{14}): Änderungen von i bezüglich v


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